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【「娘よ!3次方程式の因数分解はこう解け!」~カルダノの公式って?】 [学問・学校]

【「お父さん!3次式の因数分解教えて!」】って言われて、「さてどうしよう」と思ったお父さんは…

3次方程式の因数分解、勉強しましたよ。

腕組みするおやじ

本やネットで調べたら、いろいろわかりました。

2次方程式の解の公式と同様に3次方程式の解の公式があることもわかりました。

 2次方程式の解の公式  2次方程式の解の公式01.jpg
の2次方程式の解は…
2次方程式の解の公式02.jpg 高校時代、この公式にあてはめて何度数式を解いたことか…


でもどれも2次方程式のものとは比較にならないほど複雑で、応用するには根気が要りそうです。

 カルダノの公式 ~Wikipediaより 
一般的な三次方程式の代数的解法は、カルダノの方法あるいはカルダノの公式として知られる。

a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 (a3 ≠ 0)
を a3 で割り
x3 + A2 x2 + A1 x + A0 = 0
の形にする。( An = an / a3)
カルダノの公式01.jpg
によって変数変換を行うと
カルダノの公式02.jpg
のように二次の項が消えた方程式が得られる。見やすいように一次の係数を p, 定数項を q とし
y3 + p y + q = 0
と書く。さらに
y = u + v
と置くと
u3 + v3 + q +(3uv + p) (u+v) = 0
ここで
u3 + v3 + q = 0
3uv + p = 0
となる u, v を探せば、そこから y の値が求まる。 この二つの式から v を消去すると
カルダノの公式03.jpg
この式は u3 に関して見ると二次方程式なので、公式から
カルダノの公式04.jpg
u と v は対称なので、この二つの解の一方を u3 にとれば、他方は v3 になる。

それぞれの立方根の和として
カルダノの公式05.jpg
が求まる。
この解法が見つけられた当時は複素数は知られていなかったため、これで解を求めたことになったが、その後、複素数についての研究が進み
x3 = a
の解が ω を 1 の立方根として
の 3 つあることが知られるようになってからは u の立方根をとる際にも同様に 3 つの場合を考えるようになり、それぞれに対応する v を求めることで
カルダノの公式06.jpg
が解として知られるようになった。

また
x3 + y3 + z3 − 3 x y z
= (x + y + z) (x2 + y2 + z2 − z x − x y − y z)
= (x + y + z)(x + ω y + ω2 z)(x + ω2 y + ω z)

という因数分解からもカルダノの方法を説明することができる。

y3+ z3 = q
−3 y z = p
とおいてみると p, q から y, z を求めることにより
x3+ p x + q
= (x + y + z)(x + ω y + ω2 z)(x + ω2 y + ω z)
という三次の多項式の因数分解が計算できる。この計算はカルダノの方法と同じである。


こんな複雑な公式を2次方程式の解の公式の様に気軽にあてはめて計算するのはちょっと無理そうです。(^_^;)

そこで一度娘が課題として出されている問題集の問題にあたってみることにしました。

教科書にもあっさりとした説明しかありませんが、カルダノの公式のように『どんな3次方程式』にも対応するのではなく、『ある一定の法則に従った方程式のみ』解けるような『パターン』が掲載されているようでそれに見合った問題が出題されていることが想像できます。

おそらくその『パターン』にあてはまるように式を変形すれば良いのだという『あたり』をつけて解いてみることにしました。

やってみたら、『当たり!』でした。(^o^)

意外にこの『パターン』は特殊形なので、コツがわかればさほど難しくないこともわかりました。

『パターン』を脇に置いて、ちょっとしたひらめきがあれば解ける、そんな感じです。

ということで、3次方程式はなんとかクリアしましたが数学は習っていないことばかりで、かなり難解な問題のオンパレードです。

私も妻も『難しい問題は飛ばして「わかりませんでした」でもいいじゃない』って言ってますが、真面目な娘は今も問題集とにらめっこです。

折角の春休みをこんな課題漬けにするのは罪な話だなぁって思いますが、まぁ、これも娘の試練ですから本人がなんらかの折り合いをつけて克服するしかないですね。

私なら、適当にやってお茶を濁して済ませてしまうと思いますが…(^_^;)

【「お父さん!3次式の因数分解教えて!」】



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